モーダル解析ガイド

モーダル解析とは何ですか？

モーダル解析は、構造物や物体がどのように振動し、加えられた力に対してどのような耐性があるのかという、物体の構造力学を理解するために不可欠なツールです。モーダル解析を行うことで、機械や構造物のテスト，最適化，検証が可能になります。

モーダル解析は、自動車，土木，航空宇宙，発電，楽器など数え切れないほどの幅広い分野で広く受け入れられています。

計測対象物の固有振動数と減衰パラメータを算出し、計測対象物のジオメトリをアニメーションで表現してモード形状を可視化できます。

固有振動数，減衰，モードシェイプなどのモーダルパラメータを集めたものを「モーダルモデル」と呼びます。

正確なモーダルモデルを決定するには、正確なモーダルテスト計測に基づいて、徹底したモーダル解析を行う必要があります。

モーダルテストと解析には通常、次のものが含まれます。

モーダルシェーカーやインパクトハンマーなどの1つ以上のエキサイター

入力された励起信号を取得する力変換器

出力された応答信号を取得する加速度計

試験結果を表示・記録するためのDAQデバイス（データ収録）機器

モーダルテストおよび解析ソフトウェアがインストールされたコンピュータ

DAQシステムとシェーカーから加えられた入力の構造への影響を収録する力センサと加速度計を使用した
大きな構造のモーダル解析

【動画】Dewesoft モーダル解析ビデオ

モーダル解析は何のために行いますか？

モーダル解析は、航空機のフレーム部品，風力発電やガスタービンのブレード，車両のシャーシなど、減衰せずに有害あるいは破壊的な共振周波数を引き起こす可能性のある力にさらされる重要な構造などの設計を、解析および検証するためによく使用されます。

減衰が非常に低い共振周波数では、わずかな力やエネルギーでも物体が強く反応し振動してしまいます。

モーダル解析では、対象物の固有振動数，減衰パラメータ，構造モードの形状の概要を把握することができます。

この知識があればエンジニアは、力の影響を受けにくいように物体のデザインを修正し最適化することができます。

また、実証実験で得られた減衰特性を利用して、有限要素法による解析モデルと実物のプロトタイプとの相関を図ることもできます。

設計の最適化は今日の燃費の要求や、構造の軽量化への本質的な要求を満たすためにしばしば使用されます。 多くの場合、構造が特定の最適化にどのように反応するかを知るために構造解析は必須です。

さまざまな共振周波数におけるプレート形状の構造的なモード形状（振動パターン）を示したもの

モーダル解析はどのように実行されますか？

高品質な結果を得るために、モーダル調査には以下の重要な要素が含まれます。

モーダルテスト

準備

• 装置
• 予備テスト
• 形状
• DOF
• 加振方法
• 構成

計測値

• FRF
• ODS

検証

• コヒーレンス

モーダル解析

パラメータの識別

• MIF
• カーブフィッティング
• モード選択
• 安定性図
• 固有振動数
• 減衰
• モード形状

モーダルモデルの検証

• AutoMACおよびCrossMAC
• モード形状スケーリング
• 合成

モーダル解析は、構造物の試験計測やFEMモデル（有限要素モデル）のシミュレーションに基づいて行われます。この記事では主に実際のモーダルテストの結果に基づいたモーダル解析を紹介します。有限要素解析（FEA）のシミュレーションモデルと実証実験結果の相関分析については、別の記事で紹介します。

モーダルテストとは何ですか？

モーダルテストと取得したテストデータは、モーダル解析を行い、テストオブジェクトの構造ダイナミクスに関する結論を出すための基礎となります。

このセクションでは、モーダルテストの基本的な理解を得るのに十分な情報と、その後のモーダル解析のためにデータを取得する方法について説明します。

モーダルテストは、テストオブジェクトを振動させるために人工的な加振源を適用する方法と、テストオブジェクトを稼働状態で走らせ、その場で振動させるin-situ試験の2種類があります。

実験的モーダル解析（EMA）

実験的モーダル解析（EMA）テストは現場でも、より制御された実験室環境でも行うことができます。実験室でのテストは、SNR（信号対雑音比）が高く、テストセットアップを簡単に変更できるという利点があります。

EMA試験では人工的な力で物体を加振し、入力（加振）信号と出力（応答）信号の両方を計測して、モーダルモデルを推定します。

動作時のたわみ形状（ODS）

動作時のたわみ形状（ODS）は、機械や構造物がその動作条件の中でどのように動くかを確認するための、シンプルな動的解析方法です。ODS試験では、人工的な力を加えず、応答振動信号のみを計測します。

モーダルモデルはODS計測値から推定することはできませんが、構造的なたわみ形状を提供することで、動作中のDUTの構造解析を改善します。

ODSは機械の状態を監視したり、人工的な力では加害しにくい橋やビルなどの土木分野でも使用されています。

【動画】Dewesoft DAQハードウェアとDewesoftXソフトウェアを使用して行われた
ODSモーダルテストと分析のビデオ例

運用モーダル解析（OMA）

OMA（Operational Modal Analysis）のモーダルテスト計測手順はODSと似ていますが、解析部分が異なります。ODSとOMAの違いについては、「ODS vs OMA」の項で詳しく説明しています。

テストの準備

モーダルテストを始める前に、以下のようなテストの準備が必要です。

• 試験体の取り付け
• 剛体運動（リジッドボディモーション）
• 加振力の種類
• 加振の場所（駆動点）
• 力と応答を計測するためのハードウェアとセンサ
• ジオメトリモデル

試験体の取り付け

モーダルテストを行う場合、DUT（テスト対象デバイス）は、構造体のすべての固有周波数とモードシェイプを明らかにする方法で動的に振動できなければなりません。

自由な振動パターンまたは構造が実際に動作しているときに予想される同様の振動パターンを追求するために、構造体を固定する場所には、ゴムバンド，弾性ワイヤ，発泡パッドなどの軟質弾性体を使用して、構造体を吊るしたり配置したりすることがよくあります。

たとえば、テスト構造がテスト中のいくつかの位置に固定されている場合、つまりテスト構造が実際に動作しているときに自由に振動している場合、計測された動的特性は、構造の実際の使用法とは完全には関連しません。 この構造により周波数が上方にシフトし、一部のモード形状が検出されなくなる可能性もあります。

剛体運動（リジッドボディモーション）

剛体運動（剛体モード）は、剛体としてのDUT全体の振動であり、DUTの構造的な動特性（フレキシブルモード）の情報は得られません。このような剛体モードは、選択されたサポート構成に関連しています。

DUTの取り付け方によっては、剛体モードが構造体のフレキシブルモードに許容できない影響を与える可能性があります。剛体モードがフレキシブルモードに与える影響は、剛体モードの周波数がフレキシブルモードにどの程度近いか、また、許容できる計測精度はどの程度かによって異なります。

経験則では、FRFが剛体モードとフレキシブルモードの間で10:1以上の周波数比を示していれば、モーダルデータを受け入れることがよくあります。例えば、最後の剛体モードが1Hz、最初のフレキシブルモードが10Hzです。ただしこの場合も、一部のフレキシブルモードがある程度影響を受けるため、特定のアプリケーションの合意された精度に常に依存します。

別のサポート構成を導入する場合は、それがフレキシブルモードにどのような影響を与えるかを評価することです。

加振力の種類

EMAのテストでは異なる入力加振タイプを選択することができます。どのタイプを選択するかはユーザのシナリオによって異なります。
例えば、以下のようになります。

• モーダルハンマを用いた衝撃加振は、小型の均質な構造物や現場での計測に最適なソリューションであることが多い。
• 大規模で複雑な構造物の場合、非線形性の検討，低いクレストファクタ，高い信号/ノイズ比などより詳細な解析が必要となるため、モーダルシェーカー/エクサイターからのサインスイープ，ランダムノイズ，その他の加振タイプが最適なソリューションとなる。
• 複雑な構造の場合、適切なモーダルモデルを抽出するために、すべてのモードが十分に高い関与を示す加振位置（リファレンスDOF）が見つからない場合は、複数の加振器が必要になることがある。さらにモーダルシェーカーでは、力のレベルを正確にコントロールすることができる。
• その他のシナリオでは、電気油圧式加振器やドロップハンマーなどの非標準的な加振器が選択され、特別な目的のために優れた入力加振を提供する他の加振方法も選択される。

加振の場所（駆動点）

EMAテストでは、振動特性のほとんどが明らかになる場所でオブジェクトを励起することが重要です。 たとえば、一部の振動モードパターンが常に最小の振動振幅を持つ場所でオブジェクトが励起された場合、これらのモードはエネルギーを吸収せず、励起されません。

最小の振動振幅が存在するモードの節点位置

適切な励起位置を特定するためには、多くの場合、異なる駆動点の位置を比較するプレテストが行われます。また、有限要素モデル（FEM）があれば、それを用いて適切な励起位置を決定することもできます。

ODSおよびOMAテストでは入力力信号を使用しないため、すべての構造モードのエネルギー成分が含まれるように、どのモードの節点にも属さないリファレンス応答DOFを選択することが特に重要です。

力と反応を計測するハードウェアとセンサ

EMAの試験では、入力された加振は通常、駆動点の力変換器またはインピーダンスヘッドによって計測されます。インピーダンスヘッドは、力センサと加速度センサの両方を備えており、駆動点の計測によく用いられます。

インピーダンスヘッドの代わりに、加振点の力センサの近くに加速度センサを設置することもできます。応答信号は加速度計で計測されることがよくありますが、他のプローブを使用することもできます。

複数の加速度センサは、データの一貫性を最適化し計測時間を短縮するために選択されることが多く、より大きな複雑な構造の場合、加速度センサの数は簡単に大きくなります。

応答センサの数が限られている場合は、「ロービング」計測を行うことができます。このシナリオでは、テスト実行の間に応答センサのグループを移動させます。このようなサブテストを重ねることで、すべてのDOFの位置を完全に計測することができます。 異なるモードが異なる直交する方向にたわむ場合は、X Y Z方向に配置された3つのセンサを持つ3軸加速度計を使用することができます。

(左）インピーダンスヘッド：PCBタイプ288D01
(中）フォースセンサ：PCBタイプ208C03
(右) 加速度センサ：PCBタイプT333B32

センサは感度が異なるため、周波数範囲も異なります。モーダルテストに含まれる周波数範囲とレベル範囲をサポートするようにセンサを選択してください。また、これらのダイナミックレンジは、選択したDAQデバイスでサポートされている必要があります。

センサからの質量負荷が比較的大きい場合には、物体の振動が異なるため、センサの重量も考慮する必要があります。目安としては、センサの質量が対象物の質量の1/10以下であることです。

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ジオメトリーモデル

ほとんどの場合モーダルテストを開始する前に、ジオメトリモデルを作成する必要があります。

ジオメトリは、ポイント，トレースライン，サーフェスで構成されており、ポイントのいくつかは計測する場所を示しています（DOF（Degrees Of Freedom）とも呼ばれます）。DOFは、例えば「0012, Z+」のように、ノードポイントの位置と計測する方向を定義します。

ジオメトリモデルは、エンジニアが計測に最適なDOFのセットを選択したり、計測プロセスを概観してガイドしたり、計測対象物の決定されたモードシェイプのたわみを視覚化したりするのに役立ちます。

ジオメトリモデルの例。黄色のDOFは計測するために選択されたDOFです。

どのようにしてモーダルテストを行うのか？

テストの準備が完了したら、実際にモーダルテストを開始します。EMAテストでは、テストの状況に応じて、1つまたは複数のモーダル励振器と1つまたは複数の応答センサを使用するのがよいでしょう。これらの異なるテスト構成は、「シングルリファレンスモーダルテスト」と「マルチリファレンスモーダルテスト」のセクションに分類されます。以下、ODSテストについて説明します。

シングルリファレンスモーダルテスト

テストケースによっては、1つのリファレンスDOFのみを持つ計測データからモーダルモデルを抽出するだけで十分な場合もあります。

ここでの仮定は、選択されたリファレンスDOFがすべてのモードに関する情報を含んでいることです。これは、どのモードもノーダルポジションにないようにリファレンスDOFの位置を選ぶことができれば可能です。実際には、すべてのモードが計測データの中に十分に「存在」する必要があるということです。

シングルリファレンスロービングハンマーテスト

ロービング・ハンマー・テストでは、応答DOFは 1つだけ、つまり加速度計の位置も 1つだけ必要となります。このようなロービング・ハンマー・テストでは、加速度センサの応答DOFがリファレンスDOFとして使用され、ハンマーはDOF間をロービングします。これは、SISO（Single-Input Single-Output）と呼ばれる試験構成の一例です。

シングル応答リファレンスDOFを使用したロービングハンマーのSISOモーダルテスト

■シングル・リファレンス・ロービング型加速度センサテスト

別のタイプのロービングテストを選択することもできます。ここでは、リファレンスDOFとして使用されるモーダルエキサイタ(例：ハンマーや加振器)を使用し、1つまたはグループの加速度ピックアップはすべてのDOFが計測されるまでロービングします。これはロービング・レスポンス・テストとも呼ばれています。

複数の加速度センサを使用する場合は、SIMO（Single-Input Multiple-Output）テスト構成と呼ばれます。

単一の励起基準DOFを使用したロービング加速度計SISOモーダルテスト

この構成の欠点は、加速度センサの質量が構造体の各点で異なる影響を与え、その結果、計測に影響を与えることです。この影響を質量負荷といいます。

また、各ロービング計測の間にセンサの移動と取り付けを再度行わなければならず、ロービングハンマーテストよりも時間がかかります。

■シングル・リファレンス・シェーカー・テスト

シングルリファレンスモーダルテスト（1つのリファレンスDOFのみを使用いてモーダルモデルを抽出すれば十分な場合）には、モーダルシェーカーを使用することもできます。

より正確なモーダルモデルの決定を必要とするモーダルテストでは、モーダルシェーカーがよく選択されます。

モーダルシェーカーを使用する場合、リファレンスDOFはシェーカーの励起位置として選択されることがよくありますが、これは通常、シェーカーを再配置（ロービング）する方が加速度センサのグループをロービングするよりも時間がかかるためです。

シングル励起リファレンスDOFのモーダルシェーカーを使ったSIMOモードテスト

マルチリファレンスモーダルテスト

テストケースによっては、複数のリファレンスDOFでの計測が必要な場合があります。これは、すべてのモードが計測データの中で十分に「存在」する適切なリファレンスDOFを見つけることができない場合です。

例えば構造物は様々な部分で、主なモーダルのたわみを持つ異なるモードを示すことがあります。このようなモードは、しばしばローカルモードと呼ばれます。

この例は、構造特性の異なる複数のパーツで構成された複雑な構造物などです。

また、試験体が同じ共振周波数でより多くのモードがある場合にも、マルチリファレンステストが必要です。これはよく「リピートルーツ」や「密結合モード」と呼ばれています。

リピートルーツの例は、ある種の対称的な構造を持つ場合です。このような場合、例えば、互いに垂直な2つの曲げモードは、その共振周波数に関して密接に結合する可能性があります。

リピートルーツを持つ対称プレートに2つの曲げモードが発生する図

計測されるリファレンスDOFの数は、同じ周波数のモードの数と（少なくとも）等しくなければなりません。

■マルチレファレンスロービングハンマーテスト

ハンマーテストについては、モードテストに複数のリファレンスDOFを含めるために、複数の応答センサをリファレンスDOFとして使用することで実現できます。

2つの応答リファレンスDOFを持つロービングハンマーのSIMOモーダルテストの図

■マルチリファレンスシェーカーテスト

マルチシェーカーテストは通常、より多くの加速度センサを使用して行われ、MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）構成となっています。

複数のシェーカーを使用することの主な利点は、入力された力のエネルギーが構造物のより多くの場所に分散されることです。これにより、特に大型で複雑な構造物や減衰の大きい構造物の場合には、構造物の振動応答がより均一になります。

このようなタイプの構造物に十分な振動エネルギーを与えるために、1台のシェーカーのみを使用した場合、入力励起レベルを高く設定しすぎることがあります。これは非線形効果の原因となり、モーダルモデルの推定値が悪くなります。より多くの場所で励起することで、実際の操作中に構造物が受ける励起力をよりよく表現することができます。

また1台のシェーカーを回転させるのではなく、複数のシェーカーを使用することで、より一貫したデータを得ることができ計測時間を短縮できるというメリットもあります。一貫性のあるデータは、マルチリファレンスモーダルテストデータを用いたモーダル解析には欠かせません。

複数のモーダルシェーカーを使用する場合は、励起センサをリファレンスDOFとして使用します。

2つの励起リファレンスDOFと1組の応答DOFを持つ、マルチシェーカーMIMOモードテストの図

■リファレンスDOFにおける識別可能なモード

マルチリファレンス構成では、抽出されるモード形状は、リファレンスDOFで「異なっている」必要があります。言い換えれば、これらのモードのモードシェイプは、リファレンスDOFにおいて線形独立でなければなりません。これを実現するには、適切なDOFをリファレンスDOFとして選択する必要があります。

例えば、プレートには2つの密接に結合したモード（同じ周波数で共振）があり、あるDOFではどちらのモードも同じようなたわみ方をするとします。2つのリファレンスDOFが2つの似たようなたわみのDOFに配置されていると想像してください。この場合、計測されたリファレンスDOFデータには、モードを分離するために必要な情報は含まれていません。

1つ目の曲げモード（左），1つ目のねじりモード（中央），そして両方のモードと2つのリファレンスDOFの良い位置と悪い位置（右）。
もしモードがリピートルーツを持つ場合は、モードがその違いを明らかにするようにリファレンスDOFを選択する必要があります。

■マルチリファレンス励起タイプ

マルチリファレンスシェーカーテストでは、通常、相関性のないランダムな励起信号タイプが使用されます。ランダムな励起信号の種類は、連続，バースト，周期的ランダムなどがあります。

また正弦波の励起信号を用いて、ステップサインテストやノーマルモードチューニングなどのサインテストを行うこともできます。

サインテストでは個々の励起DOFにおいて、特定の周波数に対する励起力レベルをそれらの間の位相パターンとともに制御することが可能です。

DOFでの励起レベルや位相パターンを制御することで、特定のモードに「チューニング」することができます（Normal Mode Tuning）。これは、特定のモードの非線形調査を行う場合など、単一のモードを詳細に調査したい場合に非常に有効です。

サインテストでは、すべてのエネルギーを1つの特定のモードに集中して励起することができます。このようにして、入力エネルギーのかなりの部分を1つの周波数に減少または集中させることができます。これをランダムな励起信号と比較すると、エネルギーが全周波数範囲に分散し、すべてのモードを同時にカバーすることができます。

ODS（操作上たわみ形状）テスト

ODSテストは、通常のEMAの実施が困難な稼働中の構造物の支配的な構造振動を解析し、修正点を決定するための貴重なツールとなります。

動作試験の条件の例としては、エンジンの回転による連続的な信号，地震，爆発，落下試験などの過渡的な信号があります。

ODSテストでは、動作中のDUTの構造的なたわみ形状を、DOFの振幅と位相の情報を計測することで決定します。 入力された励起信号を使用せず、出力された応答信号のみを使用します。応答DOFのうち1つまたは複数のDOFをリファレンスDOFとして選択し、位相情報を抽出します。

なお、選択したリファレンスは、対象となるすべての周波数／次数のエネルギーをカバーする必要があることに注意してください。

たわみ形状は、時間ODS，スペクトルODS，非定常ODS（速度を変化させたテストに使用）のいずれかによって決定されます。いずれの場合もODSの結果は、ジオメトリ上のアニメーションのたわみ形状と、それに関連する振幅と位相の情報となります。

■タイムODS(Time ODS)

タイムODSの結果は動作中のDUTの全体的なたわみを表していて、ユーザはどこでたわみを確認するか時間を調整することができます。

タイムODSテストでは、DOFの計測された時間信号を用いて、リファレンスDOFに関連する振幅レベルと位相を抽出します。この作業はすべての時点で行われ、たわみを時間軸上でアニメーション化することができます。

位相情報を抽出するために時間信号を使用するため、ロービング加速度センサのテストを行う際に使用するのは難しいことに注意してください。このような場合には、すべてのロービング計測セットの位相が揃うように、正確なトリガーメカニズムが必要となります。通常、タイムODSは、ロービングせずにDUTをカバーするのに十分な加速度センサがある場合に実行されます。

■スペクトルODS

スペクトルODSの結果は、ユーザが決定した個々の周波数におけるDUTのたわみを表しています。

スペクトルODSテストでは、DOFの周波数データを処理して、リファレンスDOFに関連する振幅と位相を抽出します。これはスペクトルデータのすべての周波数成分に対して行われ、たわみの形状を周波数軸上でアニメーション化できます。

■非定常型ODS(Non-stationary ODS)

非定常ODSの結果は、ユーザが決定した個々の回転数におけるDUTのたわみを表します。

非定常のODSテストでは通常、DOFの動的リサンプリング（Order Tracked）されたスペクトルデータを用いて、リファレンスDOFに関連する振幅と位相を抽出します。これは、回転に関連するスペクトルデータのすべての次数成分に対して行われ、たわみは次数軸上でアニメーション化されます。

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DUTのギアやベアリングなどの回転コンポーネントは、計測された速度の異なる次数または分数で回転することがよくあります。これらの部品は、速度に依存しないさまざまな次数のコンポーネントとして表示されます。このように、さまざまな次数に注目することで、たわみ形状を異なる回転するDUTコンポーネントに絞ることができます。

速度の変化に伴って特定の次数での形状のたわみが変化する場合は、関連するDUTコンポーネントがそのような速度変化の影響を受けていることを示しています。

テスト計測値の平均化

同じDOFの場所で行われた複数の計測値を平均化することが重要です。

なぜでしょう？各計測値には、システムの共振周波数やモードシェイプの決定に影響を与えるランダムなノイズが含まれています。複数の計測値を平均化することで、ランダムなノイズ成分を減らすことができます。

より多くの平均値を選択すれば、ランダムノイズはさらに減少します。平均化するための望ましい計測ブロック数を決定するのはエンジニア次第です。その決定は、結果の質と必要なテスト時間とのバランスを考慮して行います。

一般的には、全体で平均化することが目安となります。

• シェイカーテストでは32～64の平均値
• ハンマー衝撃試験では4～8の平均値

通常、モーダルテストのアプリケーションソフトウェアでは、各DOFの計測で使用する平均値の数をユーザが指定することができます。通常の衝撃励起試験（計測ブロックごとに1つの衝撃）では、ユーザは指定された平均数に等しいDOF位置のセットにそれぞれ衝撃を与える必要があることを意味します。

コヒーレンス関数を見ることは、モーダルテストを行う際の主要な検証ツールですが、1回の計測でコヒーレンス値が1になったからといって惑わされてはいけません。

定義上、コヒーレンス関数は複数の計測値に基づいているため、平均化を行った後でなければ有用なデータは得られません。

平均化は全DOFではなく、個々のDOFの位置データに対して行う必要があります。

例えば、同じDOFに基づいてオートスペクトル$G_{AA}(f)$と$G_{BB}(f)$、クロススペクトル $G_{AB}(f)$ を平均化する場合に有効です。これらの平均化されたスペクトルに基づいて、FRFやコヒーレンス関数などのモーダルテストの結果が算出されます。

オートスペクトラとクロススペクトラについては「付録」をご覧ください。

モーダルハンマーとは何ですか？

モーダルハンマーは、ハンマーによる衝撃試験に使用され、通常は単純な構造物に対して実施されるか、より複雑なモーダルシェーカー試験の前に簡単な調査として使用されます。それは加振器を構造物に取り付けることなく、センサという比較的少ない設備で行うことができます。一般的には、少ない計測ポイントで十分なモーダル試験のセットアップと実施にはほとんど時間がかかりません。

モーダルインパクトハンマーのコンポーネント

モーダルハンマーの種類

モーダルハンマーは、加振対象となる構造物の種類によって、サイズや仕様が異なります。

PCBピエゾエレクトロニクスモーダルハンマーの図-モデル：086C03（左）
ブリュエル＆ケアモーダルスレッジハンマー-タイプ8210（右）

どのモードのハンマーが特定の作業に最適なのかを知るには、以下の表を目安にするとよいでしょう。

上の表はさまざまなモーダルハンマーサイズの用途と特性を示しており、特定のテストシナリオに対してハンマーを選択する際の参考となります。

最適なハンマーを選択した後は、追加の特性を考慮する必要があります。

• 周波数特性 - 周波数範囲、使用する最適なインパクトチップの選択
• ハンマーの寸法と重量 - 実用上の注意点
• 計測範囲 - 十分な衝撃力レベルを提供
• 感度 - 弱すぎる信号レベルと過負荷レベルのバランスをとる
• 非線形性 - 一貫性，精度

ハンマーのヒント

モーダルテストに含める周波数範囲については、正しいハンマーチップの選択が重要です。先端の素材が硬いほど周波数範囲は広くなりますが、ダブルヒットを避けるのが難しくなります。軟らかいハンマーチップは衝撃時間が長くなり、低周波数での構造体へのエネルギー伝達が良くなりますが、モーダルテストの周波数範囲は小さくなります。

目安としては、モーダルテストの上限周波数で減衰が6dB以下となる周波数特性を持つハンマーチップ素材を選ぶことです。

モーダルハンマーの周波数特性がチップハーネスによってどのように影響を受けるか

モーダルシェーカーとは何ですか？

モーダルシェイカーは、大型の構造物や複雑な構造物を加振し、高品質なモーダルデータを得るために使用される加振器（シェーカー）です。モーダルハンマーと比較して、モーダルシェイカーはより広い周波数範囲で構造物を加振することができ、また多くの異なる信号タイプで加振することができるため、様々な構造物に最適であり、正確な試験結果を得るために最適です。

また、モーダルシェーカーを制御して、ユーザーが定義した特定の加振レベルで構造物を加振することができます。この加振レベルは、加振周波数を基準としたフラットな加振カーブやシェイプされた加振カーブを得るために使用することができます。加振器の加振レベルを制御することで、構造物を致命的な高振幅のたわみから保護することができ、また、非線形効果を分析するために異なるレベルの試験を行うことができます。

複数の加振器を併用し、振幅や位相のパターンを制御することができます。複雑な構造物に複数の加振器を使用することで、より現実的な力の加振が可能となり、すべてのモード形状の調査が可能となります。

モーダルテスト用加振器の種類

モーダルシェーカーには様々なタイプの加振器があります。

• 永久磁石シェーカー
• モーダルシェーカー
• 慣性シェーカー

それぞれのタイプには長所と短所があります。例えば、最大加振力のレベル，周波数範囲，そして特にシェーカーのDUTへの取り付け方法についてです。

永久磁石シェーカー

永久磁石シェーカーは、加振器のアーマチュアに直接DUTを固定できる汎用タイプで、ヘッドエキスパンダーを使用することで振動面積を拡大し、より大きな対象物にも対応できます。

永久磁石シェーカーは、一般的に次のような用途に使用されます。

• マイクロパーツの振動試験およびアセンブリや電子機器のモーダルテスト
• 衝撃試験
• センサーキャリブレーション
• 疲労，共振試験
• 教育，研究

モーダルシェーカー

モーダルシェーカー（別名：モーダルエキサイター）は、モーダルテストを行う際に、通常の振動加振器と比べていくつかの利点があります。

たとえば、DUTを加振器のアーマチュアに固定する代わりに、モーダルシェーカーが「スティンガー」と呼ばれるコネクティングロッドを介してDUTに取り付けられます。

モーダルシェーカーは、スティンガーのアーマチュアが貫通しているため、シェーカーを動かさずにスティンガーをDUTに合わせて必要な長さに調整することができ、セットアップが簡単になります。

モーダルシェーカーは、一般的に次のような用途に使用されます。

• 電子回路基板
• サブコンポーネント
• 機械
• 自動車
• 航空機，その他大型構造物

異なるpkpk変位、出力力、および周波数範囲を備えたDewesoftモーダルシェーカー

モーダルシェーカーは、下表のように様々な仕様のものがあります。

モーダルシェーカーが使用できる一般的なレンジ

スティンガーは細いフレキシブルな棒で、主に軸方向の力をフォースセンサやインピーダンスヘッドに伝えることでモーダルテストの精度を向上させます。また、横方向の柔軟性により、DUTとモーダルシェーカーの両方を危険な力から守ります。

モーダルシェーカーとフォースセンサを結ぶスティンガー接続図

慣性シェーカー

慣性シェーカーは、低周波数帯の加振が必要な構造物に使用されます。これらの加振器は構造物に直接接続されており、シェーカーの質量の慣性運動が構造物に必要な力を与えています。

慣性シェーカーは、モーダルシェーカーと同じように、モーダル試験や一般的な振動試験に適しています。構造物の寸法、必要とされる加振周波数とレベルに応じて、モーダルシェーカーまたは慣性シェーカーのいずれかを使用することができます。

質量，出力力，周波数範囲が異なる慣性シェーカー

慣性シェーカーには、下表のように様々な仕様のものがあります。

慣性シェーカーが使用される一般的なレンジ

シェーカーの励起信号

振動シェーカーの励起信号にはいくつかの種類があります。

• ランダム
• バーストランダム
• 疑似ランダム
• 周期的ランダム
• 正弦波チャープ
• スイープサインとステッピングサイン

それぞれのタイプを詳しく見ていきましょう。

ランダム

ランダム（または純粋なランダム）励起は定義された周波数範囲において、振幅と位相がランダムに変化する「ホワイトノイズ」を提供します。ランダムな励起ではランダムな信号が周期的でないため、スペクトル推定値に漏れが生じます。リークは、時間重み付け窓（ハニング窓など）を使用したり、スペクトルの分解能を上げる（スペクトル線の間隔 $\mathrm{\Delta }f$ を狭める）ことで、ある程度処理することができます。

ランダムに加振することで、クレストファクター（ピークとRMSの比）やS/N比がかなり良くなります。これは、非線形性がある場合にシステムを線形近似するために、（平均化しながら）使用するのに最適な信号タイプの1つです。平均化が必要なため、テスト時間が長くなります。

正規ガウス分布の確率密度を特徴とするランダムなホワイトノイズの時間信号a(t)

バーストランダム

一方、バーストランダムは、純粋なランダムに比べて、適切なバーストレートを選択することで、リークフリーを実現することができます。このような場合は、均一なウィンドウ（ウィンドウなし）を使用することができます。バーストランダム励磁タイプは、比較的高速で使用できる信号タイプですが、ピュアランダム励磁に比べてクレストファクターが大きくなり、S/N比が低下します。

ランダムなホワイトノイズのバースト間に信号の切れ目があるバーストランダム時間信号

疑似ランダム

疑似ランダム励起タイプは高速で漏れがなく、クレストファクターとS/N比がかなり良好です。一方、疑似ランダム信号は、非線形システムの線形近似には使えません。

疑似ランダム励起信号では、同じブロックのランダムな時間信号が繰り返されループしています。 これにより、試験体はその振動を周期的な応答に安定させ、矩形の重み付け窓を使用することで、漏れのない計測を実現することができます。

擬似ランダム時系列信号。
ランダムな時間データの同じブロックがFFTブロック長Tごとに繰り返されるように設定されている。
FFT時間ブロック長Tは、レコードタイムと呼ばれることもある。

擬似ランダム信号は、FFTの時間ブロック長（$T$）と等しい繰り返し時間ブロック長を持ち、FFTの周波数ライン（$\Delta f$）の整数倍のエネルギー成分のみで構成されるように選択されたエルゴード定常信号です。

疑似ランダム信号では、スペクトル成分のエネルギーは固定されていますが、位相はランダムです。スペクトル成分の固定エネルギーは、使用する周波数範囲で一定であるか、共振周波数付近にエネルギーを集中させるシェープが可能です。

周期的ランダム

周期的ランダム信号は、ランダム信号と疑似ランダム信号を組み合わせたもので、漏れのない計測が可能で、システムの線形近似に最適です。ただし、ランダム信号や擬似ランダム信号を用いた場合に比べて、計測時間が長くなります。

周期的ランダム信号とは、時間とともに変化する擬似的なランダム信号のことです。例えば、ある擬似ランダム信号がFFTの時間ブロック（$T$）の数だけ実行されると、別の擬似ランダム信号に変化します。このプロセスは、モーダル計測を通じて継続されます。

この方法では，異なる擬似ランダム信号によって得られる定常応答に構造体が落ち着くまでの時間があります。モーダル解析には各疑似ランダム信号の最後の時間ブロック（構造体が落ち着いたとき）のみを使用します。

異なるタイプ/レコードの擬似ランダム信号を持つタイムブロックの異なるセクションで構成される
周期的ランダム時間信号。モーダル解析用のデータは、DUTが周期的な応答に落ち着いてから抽出される。

疑似ランダム信号と同様に、周期的ランダム信号もエルゴード的な定常ランダム信号です。FFTの周波数増分の整数倍のエネルギーのみで構成されています。しかし、周期的なランダム信号では、スペクトルの内容がランダムな振幅とランダムな位相分布を持っています。

正弦波チャープ

チャープ信号を使用すると、正弦波スイープがFFT時間ブロック $T$ ごとに定義された周波数範囲を通過します。 チャープ信号は疑似ランダム信号と同じカテゴリにあり、同じ有用な特性と欠点があります。 ただし、正弦波チャープの場合、波高比は2未満に減少し、信号対雑音比は高く、スペクトルの内容はフラットな大きさと滑らかな位相を持ちます。 チャープ信号は、構造物の非線形性の計測に最適です。

FFTタイムブロック長Tごとに決定された周波数範囲を通過する正弦波チャープ時系列信号のスケッチ

スイープサインとステップサイン

スイープサインとステップサインは、チャープと同じ信号特性を持っていますが、各FFT時間ブロック $T$ では全周波数範囲をカバーしていません。その代わりに、周波数範囲のごく⼀部だけがまとめて処理され、最終的なフルレンジの計測値は、一連の処理された周波数成分で構成されます。

掃引正弦波モーダルテスト例。赤い水平線は現在の掃引周波数を示しています。
現在の周波数よりも低い周波数成分だけがこれまでに正弦波信号と一緒に走っています。
残りの周波数成分はまだノイズでしかなく有効なモーダル結果を算出するには不十分です。

チャープ励起と同様にスイープサインやステップサインは、構造物の非線形性を調べるのに適しており、ユーザーが定義したスイープレートやステップレートにより、特定の周波数やモードを簡単かつ詳細に解析することができます。

ステップサインではその周波数でデータを抽出する前に、構造が定常応答に落ち着くまでの時間があります。抽出後、信号が次の周波数にステップすると、構造は再び落ち着きます。このプロセスは、全周波数範囲で継続されます。

異なるステップ周波数では、振幅を制御することができます。複数のモーダルシェーカー（つまり複数の加振信号）を同時に使用する場合は、その位相パターンも制御されます。

多くのソフトウェアアプリケーションでは、動的リサンプリングがスイープサインやステップサインに使用されており、FFTのタイムブロックが正弦波の周波数に応じて動的な時間長を持つようになっています。固定 $T$ の代わりに、正弦波の周期数に等しい動的時間をFFTの時間ブロックサイズとして定義します。

モーダルテストの結果

FRF（周波数応答関数）

実験モーダルテストから得られる主な結果は、基準DOFとジオメトリ上のすべてのDOFとの間の周波数応答関数（FRF）です。

FRFは出力される応答運動と入力される加振力との関係を表す指標であり、リニアシステムの固有の性質を示します。

FRF値はFFTの周波数成分ごとに計算され、計測周波数範囲のFRF関数が得られます。

DOFとリファレンスDOFの間のFRFマグニチュード関数の例。
大きさは、DOFの動きと基準となるDOFの入力力との関係を示しています。

FRFの大きさは、多くの場合[ $m/s^2/N$ ]または[ $g/lbf$ ]の単位で表されます。FRFの大きさの値が大きい周波数では、構造体の感度が高くなり、低い入力力レベルでも出力応答が相対的に大きくなります。FRFの大きさが局所的に最大/ピークになり、その時点で位相が90度回転する場合は、通常は共振を示します。これは、コヒーレンスを検査することによって検証することができます。

一方、FRFの大きさの値が小さい周波数では、構造体は入力された力に対して耐性があり、入力された力が大きくても出力応答は比較的小さくなります。谷の位置は構造体の反共振周波数を示すことがよくあります。

基準となるDOFと他のDOFの間のFRF位相プロットの例。位相関係は共振周波数付近で変化します。

固有周波数，減衰，モードシェイプなどのモーダルモデルは、FRFデータに基づいているため、モーダルテストで得られた高品質なFRFデータは、モーダル解析を成功させるための基礎となります。

高品質なFRFデータを得るためには、以下のような方法があります。

• 比較的高い周波数分解能を使用することで、リーク効果を最小限に抑えることができます。これは、FFTの線間隔 $\mathrm{\Delta }f=1/T$ が大きいため、FFTの時間ブロック長 $T$ を大きくすることで実現できます。
• 入出力信号のノイズは可能な限り少なくしてください。
• 無相関のノイズによる誤差を最小化するために、平均化を行います。より多くのノイズが存在する場合は、より多くの平均値を使用してください。アプリケーションによってノイズレベルが異なるため、最適な平均値の数も異なります。 しかし、一般的な経験則では、加振機テストでは32～64の平均値を、ハンマー打撃テストでは4～8の平均値を使用します。

FRFの定式化

入力信号である $a(t)$ と出力信号である $b(t)$ の2つの信号があれば、FRFは次のように求められます。

$$H(f)=\frac{B(f)}{A(f)}$$

ここで $A(f)$ と $B(f)$ は $a(t)$ と $b(t)$ の複合スペクトルです。スペクトルについては「付録」をご覧ください。

FRF $H_1$

FRFの $H_1$ 変量は、出力信号にノイズがある場合に結果の誤差を最小限にします。FRF $H_1$ は $H$ 関数の反共振の谷間で最も良い推定値となります。

$$H_1(f)=\frac{B(f)}{A(f)}\cdot \frac{A^{\ast }(f)}{A^{\ast }(f)}=\frac{S_{AB}(f)}{S_{AA}(f)}=\frac{G_{AB}(f)}{G_{AA}(f)}$$

そしてMIMOの場合：

$$[H_1(f){]}^T=[G_{AA}(f){]}^{-1}[G_{AB}(f)]$$

繰り返しになりますが、 $S(f)$ と $G(f)$ および2x2 MIMO FRF H1の定式化については「付録」をご覧ください。

FRF $H_2$

FRFの $H_2$ バリアントは，入力信号にノイズがある場合に結果の誤差を最小にします。 FRF $H_2$ は、$H$ 関数の共鳴ピークにおいて最良の推定値を得ることができます。

$$H_2(f)=\frac{B(f)}{A(f)}\cdot \frac{B^{\ast }(f)}{B^{\ast }(f)}=\frac{S_{BB}(f)}{S_{BA}(f)}=\frac{G_{BB}(f)}{G_{BA}(f)}$$

そしてMIMOの場合：

$$[H_2(f){]}^T=[G_{BA}(f){]}^{-1}[G_{BB}(f)]$$

$G_{BA}(F)$ の場合、共役されるのは出力信号bであることに注意してください。

ODS（操作上のたわみ形状）の結果

ODSの結果は、ジオメトリ上でアニメーション化されたたわみの形状と、決定された応答の振幅と位相情報で構成されており、これによりDUTの振動パターンが得られます。

特定の周波数における運用上のたわみ形状のアニメーション例（スペクトルODS）。赤色は最大たわみ量を示す。

応答振幅は、絶対的にスケーリングされた応答計測（例えば、スペクトルODSを行う際に、個々のDOFのオートスペクトル $G_{AA}(f)$から計算され、単位加速度，速度，および変位の両方で提供されることがあります。

スペクトルODSを行う際には、クロススペクトル $G_{AB}(f)$ やCPSD（クロスパワースペクトル密度）スペクトルなどから、基準となるDOFとすべてのDOFの間で位相情報を抽出します。

ODSはすべての周波数成分で決定することができますが、EMAテストによるモードシェイプは固有の周波数でのみ定義されることに注意してください。1つの固有周波数に近いODSは、その周波数におけるモードシェイプに支配されます。

DUTのモードシェイプがわずかな重なりでよく分離されている場合、ODSテストはEMAで推定されたモードシェイプと同様のたわみ形状を示すことができます。

モーダルテストの検証

コヒーレンス

コヒーレンスデータは、モーダルテストの検証に重要な情報を提供します。コヒーレンスは、1つのDOFまたはDOFのグループが、他のDOFとどのように相関しているかを示します。コヒーレンス値はFFTの周波数成分ごとに計算され、計測された周波数範囲のコヒーレンス関数を提供します。

コヒーレンス機能は通常、品質検査のためのモーダルテストでモニターされます。

基準となるDOFと他のDOFの間のコヒーレンス関数の例。
この関数はほとんどの場所で1に近い値を示し、2つのDOFの間に強い相関関係があることを示しています。

一般的なコヒーレンス

一般的なコヒーレンス、あるいは単にコヒーレンスは、2つのDOF間のコヒーレンス計算です。

一般的なコヒーレンスは、シングルおよびマルチリファレンスモーダルテストの両方で使用されますが、マルチリファレンスモーダルテストでは、一般的なコヒーレンスはリファレンスDOF間でのみ使用する必要があります。

■シングルリファレンスモーダルテスト

シングルリファレンスDOFと他の個別DOFとの相関関係の検証

リファレンスDOFと他のDOFの間のコヒーレンス値は高い（1に近い）ことが望ましいです。これは、すべてのDOFの振動エネルギーが他のノイズ源ではなく、リファレンスDOFのみに関連していることが望ましいからです。一部の周波数でコヒーレンス値が低い場合、モーダルデータは不正確で、その周波数では無効になる可能性があります。しかし、反共振周波数や低周波の剛体振動では低い値でも許容される場合があります。

一般的にコヒーレンス値が低くなるのは、計測時のノイズやリーク、テスト対象物が時間的に変化する場合、非線形性が存在する場合などが考えられます。

■マルチリファレンスモーダルテスト

複数の加振器を使用している場合など、2つのリファレンスDOF間の相関性の検証

例えば、マルチシェーカーを用いたMIMOテストでは、2つのリファレンスDOF間のコヒーレンス値は、完全に無相関のリファレンス信号が望ましいため、低い値（0に近い値）にする必要があります。リファレンス信号が無相関である場合にのみ、リファレンスDOFを区別することができ、有効なMIMO FRFやその他のモーダルな結果を計算することができます。

2つの信号$a(t)$と$b(t)$の間の一般的なコヒーレンスは、次のように定義されます。

$${\gamma }^2(f)=\frac{|G_{AB}(f){|}^2}{G_{AA}(f)\cdot G_{BB}(f)}$$

ここで

$${\gamma }^2(f)\in [0,1]$$

1は2つの信号が完全に線形関係にあることを示し、0は相関がないことを示します。

コヒーレンスは、多くのブロックのデータを平均化することによってのみ有効となります。平均化しない場合、${\gamma }^2(f)$は1になります。

マルチプルコヒーレンス

マルチプルコヒーレンスとは、リファレンスDOFのグループと別のDOFとの間のコヒーレンスのことです。マルチリファレンスモーダルテストにのみ使用されます。

■マルチリファレンスモーダルテスト

すべてのリファレンスDOFと他の個別DOFとの間のマルチコヒーレンス値は、高い値（1に近い値）にする必要があります。これは、すべてのDOFの振動エネルギーがリファレンスDOFのみに関連し、他のノイズ源に影響されないことが望まれるからです。繰り返しになりますが、ある周波数でコヒーレンス値が低い場合、モーダルデータは不正確なものとなり、剛体振動や反共振を除いて、その周波数では無効となる可能性があります。

マルチプルコヒーレンスとは、信号グループ$[a_1(t);...a_n(t)]$と信号$b(t)$の間の線形関係を表す指標です。 マルチプルコヒーレンスは次のように定義されます。

$${{\gamma }_{[A]B}}^2(f)=\frac{{G_{[A]B}}^H(f)\cdot {G_{[A][A]}}^{-1}(f)\cdot G_{[A]B}(f)}{G_{BB}(f)}$$

ここで

$${{\gamma }_{[A]B}}^2(f)\in [0,1]$$

ここで、1の値は、選択されたグループ$[a_1(t);...a_n(t)]$のすべての信号が信号$b(t)$に線形的に関係していることを示します。 0の値は、どの信号$a_1(t);...a_n(t)$も$b(t)$に相関していないことを示します。

モーダルパラメータの推定

MIF（モードインジケータ機能）

モードインジケータ機能はモーダルテストから得られたデータに、いくつのモードが存在するかを特定するのに役立ちます。モードの中には指向性のあるものもあり、すべてのFRFから観測できるわけではないため、1つのFRF関数に基づいて判断するのは難しい場合があります。

モード選択のプロセスを支援するために、さまざまなタイプのMIFが開発されており、それぞれ特別な用途があります。

• PMIF（パワーモードインジケータ機能）
• NMIF（ノーマルモードインジケータ機能）
• CMIF（コンプレックスモードインジケータ機能）

それぞれを詳しく見ていきましょう。

PMIF（パワーモードインジケータ機能）

パワーモードインジケータ機能は、SUMまたは積算機能（Summation Function）とも呼ばれ、グループまたはすべてのFRFの電力を合計します。PMIFはDUTのモードにピークがあり、すべてのFRFが含まれている場合は、計測された構造に存在するすべてのモードを示すことができます。

PMIFは、特にモードが十分に分離されている場合には、モードのかなり良い指標となります。

PMIFは次のように定義されています。

$$\sum (|H{|}^2)$$

NMIF（ノーマルモードインジケータ機能）

ノーマルモードインジケータ機能（NMIF）は、通常モードインジケータ機能やオリジナルモードインジケータ機能とも呼ばれ、PMIFよりも間隔の狭いモードの識別に優れています。

NMIFの定式化には、モーダルモードで急速にゼロを通過するFRFの実数部が含まれており、ここでNMIFの関数はPMIFよりも明確に個々のモードを示しています。

使用したFRFの情報に基づき、DUTのモードにピークがあるNMIFプロットの例

NMIFの値は[0、1]の間隔で、モードシェイプは曲線上のピークで示されます。

NMIFは次のように定義されています。

$$\frac{\sum (|Re(H)||H|)}{\sum (|H{|}^2)}$$

CMIF（コンプレックスモードインジケータ機能）

CMIF（コンプレックスモードインジケータ機能）は、含まれるリファレンスDOFごとに1つの関数を持ち（ポリリファレンス）、リピートルーツを持つ密結合モードを検出することができます。

CMIFは、FRF関数の特異値分解（SVD）に基づいて、モデルテストの計測値に含まれるすべてのモードを識別します。

CMIF関数には、DUTの極を示す共振点にピークがあります。

2つのリファレンスを使用したモーダルデータに基づくCMIFプロットのの例
リファレンスごとに1つのカーブがある。複数の曲線で同じ周波数にピークがある場合は、ルートが繰り返されていることを示している

カーブフィッティング

カーブフィッティングは、モーダルパラメータ推定の主なプロセスであり、計測されたモーダルテストデータからモーダルパラメータ，固有周波数，減衰係数，モードシェイプを抽出します。これは、モーダル計測値にカーブフィッティングを行い、決定されたデータの解析表現からパラメータを抽出することで行われます。

モーダルカーブフィッティングを行う際には、有効かつ最も正確なモーダル推定値を得るために、いくつかの側面を考慮する必要があります。これらの側面は次のように分類されます。

• 1つまたは複数のモード（SDOFまたはMDOF）
• 1つまたは複数のDOF（ローカルまたはグローバル）
• 1つまたは複数の参照（モノリファレンスまたはポリリファレンス）

SDOF（単一の自由度）フィッティング

SDOFカーブフィッティングは、モードが十分に分離していて重なりが小さい単純な構造の場合や、これらの要件を満たす特定の周波数帯で使用することができます。

多くの場合構造体は軽く減衰しており（1％未満）、そのためモードの重なりが小さいことが多くモードは軽く結合していると言われています。

MDOF（複数の自由度）フィッティング

MDOFフィットはモードの間隔が狭い構造や、モード間のオーバーラップが発生するような減衰の大きいモードを持つ構造で使用する必要があります。この場合も、MDOFはそのような特性が発生する特定の周波数範囲でのみ使用できます。

FRF曲線と3モードフィッティングの図
第1のモードフィッティングは他のモードから十分に分離しており、
この周波数帯ではSDOFフィッティングを使用することができます。
モードフィッティング2と3は間隔が狭く、この周波数帯ではMDOFフィッティングを使用する必要があります。

グローバルフィッティング

グローバルカーブフィッティングは、複数のDOFデータに基づいて行われます。複数のDOFからのFRF情報を含むデータを使用することで、これらのカーブフィッタは、ローカルカーブフィッティングに比べて、グローバルモードのパラメータ（周波数と減衰）をより正確に推定することができます。これはいくつかのモードが、実行された個々のFRF計測では検出されない可能性があるためです。

グローバルカーブフィッティングを行う際には、使用するすべての計測値にグローバルモードが含まれている必要があります。そうでない場合は、グローバル推定が不正確になる可能性があります。

ローカルフィッティング

ローカルカーブフィッティングは、実際のFRF測定の個々の（または小さなグループの）計測値に基づいて行われます。このような推定法は、DUTのローカルモードを解析する際に使用できます。

すべてのモードがグローバルであれば、グローバルカーブフィッタを使用する必要があります。

モノリファレンスフィッティング

モノリファレンスカーブフィッティングは、単一のリファレンスDOFを使用したモーダルテストの計測に基づいています。単一のリファレンスDOFは、固定式シェーカーテスト、ロービング加速度計の衝撃テストを行う際の励起DOFとすることができ、また、リファレンスDOFがロービングハンマーテストを行う際の応答DOFとすることもできます。

ポリリファレンスフィッティング

ポリリファレンスカーブフィッティングは、マルチシェーカーMIMOテストや複数の応答リファレンスDOFを使用したロービングハンマーテストのように、複数のリファレンスDOFを使用したモーダルテスト測定に基づいています。

ポリリファレンスカーブフィッティングは、リピートルーツを持つ密結合モードを分離することができます。このようなモードは、例えば、いくつかの対称的な寸法のDUTを計測する際に発生します。このような場合、複数のモードが同じ共振周波数を持つ可能性があるため、1つのピークが複数のモードをカバーすることになります。

カーブフィッティング法

カーブフィッティングの主な目的は、モーダルデータを可能な限り最適な方法で数学的に表現することです。この目的のために、様々なタイプのモーダルカーブフィッティングアルゴリズムが開発されています。これらのアルゴリズムには、時間領域のデータを使用するものと、周波数領域のデータを使用するものがあります。

時系列に基づくフィッティングアルゴリズムでは、パラメータの推定にインパルス応答関数（IRF）を使用しますが、周波数ベースのアルゴリズムでは、推定にFRFを使用します。

構造のダイナミクス（単純または複雑なDUT）や、フィットさせるモードの数（高次または低次のフィッティング）など、それぞれに長所と短所があります。

以下の表は、一般的に使用されているカーブフィッティングの手法と、その処理領域（時間または周波数）および最適なモデルオーダーの範囲（高および低）を示しています。

様々なカーブフィッティング法を、処理領域（時間または周波数）とモデルフィッティングの順序（高低）に
応じて示した表。　呼称の略語は（付録）参照。

軽度の減衰構造には時間領域でのカーブフィッティングが、重度の減衰構造には周波数領域でのカーブフィッティングが選択されます。

カーブフィッティングで使用される主なパラメータの1つに「次数（オーダー）」があります。「反復」や「モーダルサイズ」とも呼ばれ、フィットした演算関数の多項式オーダーを定義します。

次数は、選択された周波数範囲/帯域に含まれるすべてのモードに関数を適合させることができるように、また選択されたカーブフィッティング帯域の外側にあるモードの残留効果を補償するために、十分に高く設定する必要があります。

ただし、フィッティングの次数を高く設定しすぎると、フィッティング関数はモードに加えてノイズもフィッティングするようになり、非物理的な計算モードも表現してしまいます。

■モノリファレンスカーブフィッティング

MDOF LSCE，LSCF，RFPは、一般的に使用されるカーブフィッタ法の一部です。これらの手法は、少ない計算量で正確なモーダルパラメータを推定するのに適しており、かなり公平な安定性ダイアグラムを提供します。

モードシェイプの推定には、LSFD（最小二乗周波数領域）推定器がよく使われます。LSFDは個々のFRF計測値と、グローバルカーブフィッタによって推定されたグローバルパラメータ（周波数とダンピング）に基づいて、ローカル推定を行います。

■ポリリファレンスカーブフィッティング

通常のモノリファレンスLSCF法は、リピートルーツを持つ密結合モードを分離するのが苦手です。このような場合には、代わりにポリリファレンスカーブ推定器がよく使用されます。ポリリファレンスカーブフィッタには、pLSCF（PolyMaxとも呼ばれる）やRFP-Zなどがあります。

■推定プロセス

多くのパラメータ推定法は，計測された伝達関数 $H_{ij}(\omega )$を，共通分母の伝達関数モデルに基づいた有理分数の多項式関数でフィットさせます。

$${\hat{H}}_{ij}(\omega )=\frac{N_{ij}(\omega )}{D(\omega )}$$

ここで$i$と$j$は、それぞれ計測された出力チャネルと入力チャネルの数です。

$ij$ 番目の伝達関数の分子多項式は次のように定義されます。

$$N_{ij}(\omega )=\sum _{k=0}^n{\mathrm{\Omega }}_k(\omega )B_{ijk}$$

と共通分母の多項式を次のようにします。

$$D(\omega )=\sum _{k=0}^n{\mathrm{\Omega }}_k(\omega )A_k$$

ここで，${\mathrm{\Omega }}_k(\omega )$は多項式の基本関数であり，nは選択された多項式モデルの次数でです。多項式の係数$A_k$と$B_{ijk}$は、グローバルなモーダルパラメータを推定するために推定されるパラメータです。

共通分母の多項式モデル$N_{ij}/D$は、例えば以下に示すような非線形最小二乗（NLS）コスト関数を最小化することで、計測された伝達関数$H_{ij}$に適合させることができます。

$$l^{NLS}(A,B)=\sum _{q=1}^{N_i\cdot N_j}\sum _{f=1}^{N_m}|W_q(\frac{N_q({\omega }_f,B)}{D({\omega }_f,A)}-H_q({\omega }_f)){|}^2$$

ここで、$W_q$は選択された重み関数です。 このようなコスト関数を最小化した後、極、つまりグローバル周波数と減衰パラメーターは、分母多項式$D(\omega )$の根から決定されます。

安定性ダイアグラム

安定性ダイアグラム（SD）は安定した極を特定し、その結果一貫したモードを識別するのに役立ちます。極はモード周波数とダンピングで構成されています。推定の次数を増やすと、推定される極の数も増えます。推定された極が、個々の隣接する次数の間で少ししか変化しないようになると、その極は安定していると言われます。

モーダル解析アプリケーションソフトウェアは多くの場合、極の安定性を決定するために設定できるユーザ定義の許容値を提供しています。このような許容範囲はたいてい、周波数とダンピングに対して個別に指定することができます。

安定性図の各モードから安定した極を選択し、残差データと合わせてモーダルモデルのモードシェイプを算出しています。

安定性ダイアグラムとモードテーブルの例
安定性ダイアグラムでは、CMIF関数（赤の曲線）を背景に安定した極（緑の円の線）におけるモードが示されている。
黄色い円は、モード形状を推定するためにユーザが選択した安定極である。
モードテーブルには、推定されたモードのグローバルパラメータ（周波数とダンピング）が記載されている。

モーダルモデルの検証

モーダルパラメータの推定プロセスが完了すると、次はモーダルモデルの検証を行います。モーダルパラメータの検証には通常、例えばMAC検査やFRF合成を行い実測のFRFデータと比較します。

モーダル保証基準（MAC）

MAC（Modal Assurance Criterion Analysis）解析は、2つのモードの形状の類似性を判断するために使用されます。

MAC番号は0から1の間のスカラー定数として定義され、2つのモードシェイプ間の整合性の程度を表します。

実際には、0.9 から 1.0 の間の値であれば、良好な相関があると考えられます。0.7以下の場合は、相関が悪いことを示していると考えられます。

2D（左）と3D（右）で示されているMACの例
対角線上の値は同一モード（Shape ID）間の相関を示し、非対角線上の値は異なる2つのモード間の相関を示す

AutoMAC

AutoMACは、モーダルモデルの精度を検証するために使用できる手順です。これは同じパラメータ推定、同じデータセットから推定されたモード形状ベクトル間の類似性を計測するものです。

定義上、対角値はすべて1になりますが、これは各モード形状がそれ自体と完全に相関しているからです。

AutoMACは、空間エイリアシングを回避するために、モーダル解析に必要なDOFの種類と数を決定するのに適したツールです。空間エイリアシングとは、計測に使用するDOFの数が不足しているためにいくつかのモードが似てしまうことです。DOFの数が不足すると、すべてのモードを個別に記述するのに十分な情報が得られません。

AutoMacプロットでは、空間エイリアシングは非対角要素で高い値を示し、異なるモードが似ていることを示します。

十分な数のDOFが計算に含まれている場合、すべてのモードがうまく独立/直交することがあります。このような場合AutoMACプロットは、それ自体とのみ相関するため多かれ少なかれ、対角線上の1付近の値を示すことになります。

AutoMACは以下のように定義されています。

$$AutoMA{C}_{rs}=\frac{|\{{\mathrm{\Psi }}_r{\}}^T\{{\mathrm{\Psi }}_s^{\ast }\}{|}^2}{\{{\mathrm{\Psi }}_r{\}}^T\{{\mathrm{\Psi }}_r^{\ast }\}\{{\mathrm{\Psi }}_s{\}}^T\{{\mathrm{\Psi }}_s^{\ast }\}}$$

 

ここで、$\{{\mathrm{\Psi }}_r\}$と$\{{\mathrm{\Psi }}_s\}$は、モード$r$とモード$s$のモーダルベクトルです。

CrossMAC

CrossMACは、異なる推定値や異なるデータセットから推定されたモードシェイプのベクトル間の整合性（線形性）を判断します。

CrossMACは、実験的に決定された異なるモード形状を比較するために適したツールです。例えば、異なるリファレンスDOF位置を使用した2つの測定値を比較し、それらの間でモードがどの程度一致しているかを確認することは興味深いことです。あるいは、同じ測定値に対して使用される2つの異なるカーブフィッティングアルゴリズムを比較することもできます。

CrossMACは、実験的に決定された異なるモードシェイプの比較だけでなく、実験的に決定されたモードシェイプのセットと、有限要素解析（FEA）から解析的に決定されたモードシェイプのセットの比較にも使用することができます。後者は相関解析で使用されます。

CrossMACは次のように定義されています。

$$CrossMA{C}_{cdr}=\frac{|\{{\mathrm{\Psi }}_{cr}{\}}^T\{{\mathrm{\Psi }}_{dr}^{\ast }\}{|}^2}{\{{\mathrm{\Psi }}_{cr}{\}}^T\{{\mathrm{\Psi }}_{cr}^{\ast }\}\{{\mathrm{\Psi }}_{dr}{\}}^T\{{\mathrm{\Psi }}_{dr}^{\ast }\}}$$

ここで，$\{{\mathrm{\Psi }}_{cr}\}$と$\{{\mathrm{\Psi }}_{dr}\}$は，同じモード$r$に対するモードシェイプの異なる推定値です。

モードシェイプスケーリング

残留物とは異なり、モードシェイプは形状はユニークですが値はユニークではないため、自由にスケールを変えることができます。

モードシェイプスケーリングには様々な方法がありますが、EMAの場合、最もよく使われるスケーリング方法を3つ紹介します。

• モーダル質量の正規化
• モーダルベクトル長の正規化
• モーダルコンポーネントの最大値の正規化

モーダル質量を1に正規化した場合、モードシェイプのスケーリングはユニティモーダル質量（UMM）と呼ばれます。

モーダル質量はDUTの質量とは関係なく、$0$以外の任意の値を選択できる数学的特性であり、スケーリング係数$a_r$の計算に使用されます。

モードシェイプのスケーリングでは、選択されたスケーリングの種類に応じて、スケーリング係数$a_r$を使用します。UMMスケーリングを使用する場合、モーダル質量$M_r$は$1$に設定され、スケーリング係数は次のようになります。

$$a_r=\frac{1}{2j{\omega }_d{M}_r}=\frac{1}{2j{\omega }_d}$$

駆動点の残差$R_{jjr}$はモーダルモデルのスケーリングに使用されるため、すべてのモードの情報を含む適切で正確な駆動点の計測値を取得することが重要です。

これにより、モードシェイプベクトル$\{{\mathrm{\Phi }}_r\}$は、スケーリング係数arおよび駆動点の残差$R_{jjr}$から、次の式でスケーリングされます。

$$\{\mathrm{\Phi }{\}}_r=\sqrt{\frac{1}{a_r{R}_{jjr}}\{R{\}}_r}=\sqrt{\frac{2j{w}_{dr}}{R_{jjr}}\{R{\}}_r}$$

FRFから得られたモーダルデータには、モードシェイプスケーリングに使用できる質量マトリックスの情報が含まれていないため、EMAではUMMスケーリングを使用することがよくあります。

残留物（Residues）

励起DOF $j$と応答DOF $i$の間のローカルモーダル残差パラメータ$R_{ijr}$は、モードシェイプ$r$の大きさに関連しており、「ポールストレングス」や「モードの強さ」と呼ばれることもあります。残差はモードシェイプと次のように関連しています。

$$[R{]}_r=a_r\{\mathrm{\Phi }{\}}_r\{\mathrm{\Phi }{\}}_r^T\rightrightarrows R_{ijr}=a_r{\mathrm{\Phi }}_{ir}{\mathrm{\Phi }}_{jr}$$

MDOFモーダルパラメータモデルの場合、残基は次のようにモビリティマトリックスのFRFに関連しています。

$$[H]=\sum _{r=1}^m\frac{[R{]}_r}{j\omega -p_r}+\frac{[R^{\ast }{]}_r}{j\omega -p_r^{\ast }}$$

と

$$H_{ij}=\sum _{r=1}^m\frac{R_{ijr}}{j\omega -p_r}+\frac{R_{ijr}^{\ast }}{j\omega -p_r^{\ast }}$$

FRF合成

FRF合成は、推定されたモーダルモデルによるFRF（合成されたFRF）を、実際に計測されたFRFデータと比較することで、検証ツールとして使用されます。これにより、推定されたモデルが物理的な構造のダイナミクスをどの程度模倣しているかを確認することができます。

正確なFRF合成をするためには、モードシェイプスケーリングを使用する必要があります。

スケーリングされたモーダルモデルからは、入力DOFと出力DOFに関連するすべてのFRF関数が次のように合成されます。

$$H_{ij}(\omega )=\sum _{r=1}^m(\frac{R_{ijr}}{j\omega -p_r}+\frac{R_{ijr}^{\ast }}{j\omega -p_r^{\ast }})=\sum _{r=1}^m(\frac{a_r{\mathrm{\Phi }}_{ir}{\mathrm{\Phi }}_{jr}}{j\omega -p_r}+\frac{a_r^{\ast }{\mathrm{\Phi }}_{ir}^{\ast }{\mathrm{\Phi }}_{jr}^{\ast }}{j\omega -p_r^{\ast }})$$

実際のFRF計測と比較した2つの計測のFRF合成例
合成されたFRFは、モーダルモデルにいくつかのモードがないことを示しています。

ODSとOMAの比較

ODSとOMAはどちらも外部入力フォースを使用しませんが、純粋に応答DOF計測に基づいています。したがって、モーダルテストの手順はODSとOMAで同じですが、解析と結果は異なります。

ODSは、計測された動作DUTのDOFの振幅および位相の基本情報を提供し、たわみ形状のジオメトリアニメーションを可能にします。

OMAは、計測された動作DUTの固有振動数，ダンピング，モードシェイプを含むモーダルモデル（EMAなど）を推定します。

しかし、EMAが力の入力信号を使用して取得したFRFデータからモーダルモデルを推定するのに対し、OMAは実稼働時の振動計測、例えばPSDやCPSD（オートパワーとクロスパワーのスペクトル密度関数）の計算からモーダルモデルを推定します。

OMAは入力された力の信号を使用しないため、適用される力は不明です。そのためモーダル質量は推定できず、推定されたモードシェイプはスケーリングされません。

OMAは、EMAを実行するのが難しい状況において、モーダルモデルの推定に使用できます。例えば、実行中のDUTの健全性を監視する場合、DUTのサイズや設置場所によって外力による励起が不可能な場合、DUTの動作構造条件を解析する必要がある場合などです。

はじめに

冒頭で述べたように、モーダル解析は製品の構造ダイナミクスに関する問題に対処するために、さまざまな業界で頻繁に使用されています。

多くの場合このような構造ダイナミクスの問題は、軽量化，効率化，製造プロセスの簡素化などの製品の最適化により、例えば、疲労寿命，振動快適性，安全性などの問題が発生します。

モーダル解析の実用化は長年にわたり、航空宇宙・防衛，自動車，機械，土木などの分野が中心でしたが、新技術の急速な発展に伴い、多くの分野や学際的なアプリケーションにモーダル解析を取り入れることが一般的になってきました。

以下は、モーダル解析を使用する一般的なアプリケーションのリストであり、EMA，ODS，OMAのようなアプリケーションに最も便利なモーダル解析タイプです。

自動車

• 車のフレームの解析（ボディは白）- EMA
• 車のコンポーネント（サスペンション，エキゾースト，ブレーキディスクなど）- EMA
• エンジン - EMA，ODS，OMA
• フル装備の車 - EMA，ODS，OMA

航空宇宙および防衛

• 地上振動試験（GVT）による航空機の解析 - EMA
• 航空機部品（着陸装置や制御面など）- EMA
• エンジン - EMA, ODS, OMA
• 飛行中の試験（フラッターテスト）- ODS, OMA
• 宇宙ロケットの解析（ペイロード，ペイロードフィクスチャ，機器ラック，オンボードシステムなど）- EMA，ODS，OMA

建設および土木業界

• ポンプおよびコンプレッサの解析 - EMA，ODS，OMA
• 機械状態監視 - ODS，OMA
• 配管システム - EMA，ODS，OMA
• シャフトおよびベアリング - EMA，ODS，OMA
• 風力タービン - ODS，OMA
• タービンブレード - EMA
• 機械の基礎 - ODS，OMA
• 橋梁，ダム，高層ビル，海上プラットフォーム - ODS，OMA

オーディオおよび家庭用機器

• 洗濯機および同様の白物家電 - EMA，ODS，OMA
• スピーカーおよび楽器 - EMA，ODS，OMA

自動車

自動車の開発では、走行中の高い安全性と快適性を確保するために、車のフレームの構造ダイナミクスを非常に詳細に解析しています。車のフレームには、わずかに減衰しているような共振周波数があります。もしこれらの共振周波数の一部が運転中に励起されるとしたら、フレームの力学的特性を変更して、構造的な共振を十分に減衰させるか、励起されない周波数帯にシフトさせることが重要になる場合があります。

モーダル解析は、車のフレームの剛性や減衰を変更した場合の効果を示し、車のフレームの強度を維持しながら重量を軽減する方法などを示すことで、このような変更プロセスを大幅に改善します。

それでも、車のフレームはあらゆる衝突試験に耐え、かつ燃費の良いものでなければなりません。

安全性，快適性，効率性，コストなどの主要なパラメータのバランスを取ることは、メーカーにとって常に継続的な戦いとなります。モーダル解析は、そのようなバランスを最適化して決定するために使用する主要なツールの一つです。

自動車の騒音もまた、自動車産業の重要な側面の一つです。自動車の騒音源は、主に車両部品から発生する構造起因の騒音と、タイヤが路面に接することで発生する摩擦音に関連しています。このような騒音源の車室内への伝達は、モーダル解析を用いて、車室内への空中音伝達のFRF伝達関数を測定することで調べることができます。これにより、車室内の気になる音と特定の自動車部品との関係を把握することができます。

航空宇宙および防衛

重量が航空機や宇宙船の性能に決定的な影響を与える航空宇宙産業では、長年にわたりモーダル解析が用いられてきました。航空宇宙産業では、燃費競争が激しく、新しい軽量素材や極めて高い強度を持つ部品の開発に多くの努力が払われています。

多くの場合このような開発されたコンポーネントは、コンピュータシミュレーション（FEM）モデルを必要とし、それを検証する必要があります。モーダル解析は、そのような解析モデルを検証するための主要なツールの一つであり、シミュレートされた "what-if "シナリオを試して信用することができます。

航空宇宙産業では、最適化されたコンポーネントの開発において、数学的モデルに使用されている線形仮定の限界に達することが多いため、コンピュータモデルの検証は非常に重要です。非線形モーダルテストを行うことで、その限界がどこにあるのかを判断することができます。このようなテストでは、特定の非線形効果が構造ダイナミクスにどのように影響するか、またシミュレーションモデルが同様の実際のシナリオからどのように逸脱し始めるかを確認することもできます。

自動車業界がモーダル解析を用いて車内騒音の原因を探るのと同じように、潜水艦でもモーダル解析を使用して、特定の騒音パターンが車外に伝播する原因を探り、騒音痕跡を減らすことができます。

モーダル解析は、発射台システムの開発など宇宙船開発の多くの分野で使用されています。例えば、打ち上げまで宇宙船を保持する発射台の構造が、リフトオフ時に発生する力に似た力で励起されたときに、どのように振動するかを知ることは非常に興味深いことです。エンジニアは発射台構造の振動パターンを、リフトオフプロセスを管理する制御システムに組み込む必要があるかもしれません。モーダル解析を行うことで、より現実的なリフトオフのシミュレーションを行うことができます。

構造ダイナミクス - 橋と建物

モーダル解析は、地震や強風などの影響が懸念される土木構造物の解析に用いられます。このような解析では、OMAのように周囲の振動や外力のみで構造的な加振を行う応答のみの試験がよく使用されます。

例えばモーダル解析では、高層マンションがいくつかの曲げモードやねじりモードにおいて、致命的に高いたわみレベルを示すことがあります。このようなモードが検出された時、多くの場合そのような特性を打ち消したり減衰させたりするための、いくつかの対策をモデル化し、実施することが可能です。

橋の場合も同様で、一定の風速でフラッター効果が発生し構造物を強制的に振動させることがあります。このような致命的なフラッター効果の例として、1940年に開通しわずか4ヵ月後に風の影響で崩壊した、ワシントン州タコマとキッツァップ半島を結ぶタコマ・ナローズ橋が挙げられます。

クロススペクトル

2つの（複素）瞬間スペクトル$A(f)$と$B(f)$をそれぞれ持つ場合、$A$と$B$からのクロススペクトル$S_{AB}$は、次の式で定義されます。

$$S_{AB}(f)=A^{\ast }(f)\cdot B(f)$$

したがって、振幅は2つの振幅の積であり、位相は2つの位相（$A$と$B$の間）の差となります。

クロススペクトルの片側スペクトル形式は、しばしば$G_{AB}(f)$と呼ばれ、次のように定義されます。

$S_{AA}(f)=A^{\ast }(f)\cdot A(f)$を持つオートスペクトルの場合も同様の関係が成り立つことに注意

MIMO 2x2 FRF $H_1$ - 定式化

2つの入力信号$a_1(t)$と$a_2(t)$、および2つの出力信号$b_1(t)$と$b_2(t)$があれば、FRF H1は、次の式で導出できます。

$[H_1{]}^T=[G_{AA}{]}^{-1}[G_{AB}]$

$[H_1{]}^T={\left[\begin{array}{cc}{G}_{A_1{A}_1}& G_{A_1{A}_2}\\ G_{A_2{A}_1}& G_{A_2{A}_2}\end{array}\right]}^{-1}\cdot \left[\begin{array}{cc}{G}_{A_1{B}_1}& G_{A_1{B}_2}\\ G_{A_2{B}_1}& G_{A_2{B}_2}\end{array}\right]$

$[G_{AA}{]}^{-1}=\frac{1}{det(G_{AA})}adj(G_{AA})=\frac{1}{det(G_{AA})}\left[\begin{array}{cc}{G}_{A_2{A}_2}& -G_{A_1{A}_2}\\ -G_{A_2{A}_1}& G_{A_1{A}_1}\end{array}\right]$

ここで、

$adj(G_{AA})=[G_{A_i{A}_j}^{\prime }{]}^T$

は補因子の転置行列であり、$G_{AA}$における$G_{A_i{A}_j}$の補因子は次のとおりです。

$G_{A_i{A}_j}^{\prime }=(-1{)}^{i+j}det(G_{A_i{A}_j})$

ここで$G_{A_i{A}_j}$は$G_{AA}$のマイナー行列です。

$[H_1{]}^T=\frac{1}{det(G_{AA})}\left[\begin{array}{cc}{G}_{A_2{A}_2}& -G_{A_1{A}_2}\\ -G_{A_2{A}_1}& G_{A_1{A}_1}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{G}_{A_1{B}_1}& G_{A_1{B}_2}\\ G_{A_2{B}_1}& G_{A_2{B}_2}\end{array}\right]$

$[H_1{]}^T=\frac{1}{det(G_{AA})}\left[\begin{array}{cc}{G}_{A_2{A}_2}{G}_{A_1{B}_1}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{B}_1}& G_{A_2{A}_2}{G}_{A_1{B}_2}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{B}_2}\\ -G_{A_2{A}_1}{G}_{A_1{B}_1}+G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{B}_1}& -G_{A_2{A}_1}{G}_{A_1{B}_2}+G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{B}_2}\end{array}\right]$

$[H_1{]}^T={\left[\begin{array}{cc}{H}_{11}& H_{12}\\ H_{21}& H_{22}\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}{H}_{11}& H_{21}\\ H_{12}& H_{22}\end{array}\right]$

$[H_1]=\frac{1}{det(G_{AA})}\left[\begin{array}{cc}{G}_{A_2{A}_2}{G}_{A_1{B}_1}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{B}_1}& -G_{A_2{A}_1}{G}_{A_1{B}_1}+G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{B}_1}\\ G_{A_2{A}_2}{G}_{A_1{B}_2}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{B}_2}& -G_{A_2{A}_1}{G}_{A_1{B}_2}+G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{B}_2}\end{array}\right]$

FRF H1行列の各行は、1つの出力信号$b$のみに依存し、両方の入力信号$a$に依存することに注意してください。

$Y=[H_1]X=\left[\begin{array}{cc}{H}_{11}& H_{12}\\ H_{21}& H_{22}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right]$

$Y_1=H_{11}{X}_1+H_{12}{X}_2$

$Y_2=H_{21}{X}_1+H_{22}{X}_2$

$Y_1=\frac{1}{det(G_{AA})}(G_{A_2{A}_2}{G}_{A_1{B}_1}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{B}_1})X_1+(-G_{A_2{A}_1}{G}_{A_1{B}_1}+G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{B}_1})X_2$

$Y_2=\frac{1}{det(G_{AA})}(G_{A_2{A}_2}{G}_{A_1{B}_2}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{B}_2})X_1+(-G_{A_2{A}_1}{G}_{A_1{B}_2}+G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{B}_2})X_2$

ここで、

$det(G_{AA})=|G_{AA}|=G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{A}_2}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{A}_1}$

ここでも各応答スペクトル$Y_i$は、1つの出力信号bのみに依存し、両方の入力信号$a$に依存することに注意してください。

また、ユニットにも注意してください。

• 複素スペクトル$A(f)$を持つ信号$a(t)$が単位$N$(Force)であるとすると、$G_{AA}$は単位$N^2$、行列式$det(G_{AA})$は単位$N^4$となります。
• 複素スペクトル$B(f)$を持つ信号$b(t)$の単位が$m/s^2$(加速度)の場合、$G_{AB}(f)$の単位は$Nm/s^2$となります。

つまりこの例では、$H_1$行列の各要素は$m/s^2/N$という単位を持ち、これは励起ごとの応答と考えることができます。

MIMO 2x2マルチコヒーレンス-定式化

2つの入力信号$a_1(t)$と$a_2(t)$、および2つの出力信号$b_1(t)$と$b_2(t)$がある場合、各出力応答信号
または$b_2(t)$（入力励起のグループに関して）は、次の方法で導出できます。

${\gamma }_{[A]B}^2(f)=\frac{{G_{[A]B}}^H(f)\cdot {G_{[A][A]}}^{-1}(f)\cdot G_{[A]B}(f)}{G_{BB}(f)}$

ここで、$[A]$は入力信号のグループを持つベクトルを表し、$G^H$は$G$の共役転置（またはエルミート転置）です。

${\gamma }_{[A]B}^2(f)=\frac{G_{[A]B}^{\ast }[G_{AA}{]}^{-1}{G}_{[A]B}}{G_{BB}}=\frac{\left[\begin{array}{cc}{G}_{A_{1}B}^{\ast }& G_{A_{2}B}^{\ast }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{G}_{A_2{A}_2}& -G_{A_1{A}_2}\\ -G_{A_2{A}_1}& G_{A_1{A}_1}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{G}_{A_{1}B}\\ G_{A_{2}B}\end{array}\right]}{det(G_{AA})G_{BB}}$

${\gamma }_{[A]B}^2(f)=\frac{[||G_{A_{1}B}|{|}^2{G}_{A_2{A}_2}-G_{A_{2}B}^{\ast }{G}_{A_{1}B}{G}_{A_2{A}_1}-G_{A_{1}B}^{\ast }{G}_{A_{2}B}{G}_{A_1{A}_2}+||G_{A_{2}B}|{|}^2{G}_{A_1{A}_1}]}{det(G_{AA})G_{BB}}$

ここで、

$det(G_{AA})=|G_{AA}|=G_{A_1{A}_1}{G}_{A_2{A}_2}-G_{A_1{A}_2}{G}_{A_2{A}_1}$

カーブフィッターメソッドの名称

いくつかのモーダルカーブフィッターの略語

参考文献

Dewesoft

• 1.1. Modal Test - Pro-training
• 1.2. Modal Test and Analysis Applications
• 1.3. Vibration Shaker Product Data
• 1.4. ODS Analysis Video example
• 1.5. Order Tracking - Pro-training

Brüel & Kjær

• 2.1. アプリケーションノート：マルチリファレンスおよびマルチ入出力技術を用いたモーダル解析　H. Herlufsen, Brüel & Kjær, Denmark
• 2.2. モーダルハンマー-タイプ8210
• 2.3. アプリケーションノート：シンプルな構造物のモードパラメータの求め方 Svend Gade, Henrik Herlufsen and Hans Konstantin-Hansen, Brüel & Kjær, Denmark
• 2.4. モーダル解析とシミュレーション Ole Døssing, Brüel & Kjær, Denmark

Crystal Instruments

• 3.1. 実験モーダル解析の概要
• 3.2. モーダルテストと解析の基本
• 3.3. モーダルテストの励起に関する考慮事項
• 3.4. 実験的モーダル解析の応用

The Modal Shop

• 4.1. 力センサとインピーダンスヘッド
• 4.2. モーダルシェーカーテスト用のモーダル励起スティンガー

Siemens

• 5.1. モーダルテストガイド
• 5.2. 高品質のFRF計測に疑似乱数を使用する
• 5.3. OMAとは何ですか？運用モーダル解析

PCB Piezotronics

• 6.1. モーダルハンマータイプ 086c03
• 6.2. モーダルハンマーチャート

書籍

• 7.1. ランダムデータ：解析および計測手順　Julius S. Bendat and Allan G. Piersol著　1971年の第1版、1.2章「ランダムデータの分類」
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UMassLowell(マサチューセッツ・ローエル大学) - モーダルスペースの記事

• 8.1. それぞれのモード表示機能の違いは何ですか？ by Pete Avitabile
• 8.2. カーブフィッティングは私にとってとても分かりにくいものです。いろいろな手法がありますが、どういう意味ですか？ by Pete Avitabile
• 8.3. ローカルカーブフィッティングとグローバルカーブフィッティングの違いは何ですか？ by PeteAvitabile
• 8.4. テストセットアップと剛体モードは、対象となるより柔軟なモードにどのような影響を与えますか？ by Pete Avitabile

その他の記事

• 9.1. 周波数応答計測による世界の周波数とダンピングの推定値 by Mark H. Richardson Structural Measurement Systems, Inc. San Jose, California
• 9.2. PolyMAXの周波数領域法：モーダル・パラメータ推定の新基準？ by Bart Peeters, Herman Van der Auweraer, Patrick Guillaume and Jan Leuridan, LMS International, and Department of Mechanical Engineering at Vrije Universiteit Brussel
• 9.3. 自律的なモーダル・パラメータ推定における空間情報 by Randall J. Allemang1 and Allyn W. Phillips, Department of Mechanical and Materials Engineering, College of Engineering and Applied Science, University of Cincinnati
• 9.4. 実験および実稼動モーダル解析のための周波数ドメインシステム同定技術 by Patrick Guillaume, Peter Verboven, Bart Cauberghe, Steve Vanlanduit, Eli Parlor, and Gert De Sitter, Vrije Universiteit Brussel (VUB) Department of Mechanical Engineering Acoustics & Vibration Research.
  
• 9.5. モーダル解析を用いた構造力学モデリング: アプリケーション，トレンド，および課題 by Herman Van der Auweraer, LMS International

ウィキペディア

• 10.1. タコマナローズ橋